MATEMATICAS MODERNAS

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS MODERNAS

Primera parte:
Los progresos que el hombre realizó en la elaboración de la matemática desde la aparición de las primeras tablillas con escritura cuneiforme de los sumerios que datan aproximadamente del año 3000 A.C., hasta llegar a la construcción de la rigurosa ciencia del Siglo XIX
Segunda parte:
Introducción del desarrollo axiomático propio del Siglo ** cuando se declaró la importancia de enseñar la llamada "Matemática Moderna" en las aulas de los jóvenes.
Tercera parte:

La controversia que se generó entre la "Matemática Tradicional" y la "Matemática Moderna" y el cuestionamiento internacional que generó la pregunta: ¿cómo debe enseñarse la matemática a los jóvenes?.

1º parte:La Edad del Empirismo.

1º parte:Del Empirismo a la Abstracción. La Geometría de Tales de Mileto (624 AC - 547 AC) formuló una concepción atómica del espacio basada en relaciones, en proporciones, en desplazamientos y en semejanzas. Hipócrates (460 AC - 350 AC) descubrió que las áreas de figuras geométricas en forma de medialuna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo. A propósito de las diagonales del cuadrado surgió el escándalo de los irracionales. Si el cuadrado tiene un lado uno, entonces su diagonal tiene una longitud x tal que x2=2, y este número no existía en la aritmética griega .

La geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes está contenida en los "Elementos" de Euclides (365 AC. - 300 AC) 1º parte:La Matemática del Medioevo. Omar Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de sexto grado. Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (1170 - 1241) escribió el libro “Liber Abacci”, en donde presentó la idea de que la aritmética y la geometría están conectadas y una se apoya en la otra.

1º parte:El Renacimiento. Fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna“. Galileo Galilei (1564 - 1642) fue un importante físico y astrónomo italiano que junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630) comenzaron la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton.

1º parte:El nacimiento de las nuevas ramas. El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton del cálculo diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Isaac Newton (1642 - 1727) se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. 1º parte:El nacimiento de las nuevas ramas. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo. 1º parte: El Rigor del Siglo XIX. Augustín Lowis Cauchy (1789 - 1857) fue el primero en imponer el rigor en la teoría de las funciones numéricas, para las que inventó la noción de límite que la ciencia moderna conserva y que quita todo misterio al infinito en los casos considerados. El matemático alemán Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916) encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor (1845 - 1918) y Karl T. W. Weierstrass (1815-1897) también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), escribió su “disertación doctoral” a la edad de 20 años. En ella dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra, también dio una explicación adecuada de número complejo. 2º parte:

La lógica del Siglo **. A fines del siglo XIX y en el siglo ** se forjaron poco a poco los instrumentos indispensables de la "Matemática Moderna" gracias a la teoría de conjuntos (Cantor) y al método axiomático (Hilbert). George Cantor (1845 -1918) David Hilbert (1862 – 1943) Se incorporó en el siglo ** el "razonamiento por inducción completa" que considera la prolongación de una sucesión infinita. Este razonamiento se utiliza cuando los conjuntos infinitos están bien ordenados.Ernst Zermelo (1871 - 1953) proclamó que en todo conjunto existe el buen orden, aún cuando éste no se pueda describir.

2º parte: La "Matemática Moderna" de los "Elementos de Matemática". El grupo Bourbaki propone después de la guerra de 1914 – 18 tomar las Matemáticas en su punto de partida: la lógica formal y la teoría de conjuntos y obtener a partir de allí la estructura axiomática y sistemática.

2º parte: El análisis del término: "Matemática Moderna". La llamada Nueva Matemática es en principio la misma matemática de siempre con importantes adquisiciones nuevas: el lenguaje en que está escrita, el método con el que trabaja y las estructuras abstractas entre las cuales se mueve. 3º parte: La "Matemática tradicional" y la "Matemática Moderna". La polémica desatada desde 1959 giró en torno de dos deformaciones pedagógicas: el practicismo y el teoricismo.

Los "practicistas" desdeñaban toda elaboración teórica elevada y toda enseñanza sistemática basada en un ordenamiento subyacente bien meditado.

Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del triángulo, los detalles de la construcción de la trigonometría y de la geometría del espacio.

El Congreso Internacional de Enseñanza de la Matemática de 1980. 1. Que la resolución de problemas sea el foco de la matemática escolar. Pero considerando un tipo de problemas especial: aquellos que generan teoría, que ofrecen resistencia al alumno y que fomentan su creatividad y su espíritu crítico.

2. Que la destreza básica en matemática comprenda la facilidad en el cálculo. 3. Que los programas de matemática aprovechen la potencia de las calculadoras y de las computadoras en todos los niveles. 4. Que se apliquen normas rigurosas de efectividad y eficiencia en la enseñanza de la matemática.

MATEMATICAS EN CHINA

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral.
Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).
La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.
Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Las nueve lecciones sobre arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.
En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.
Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.).

Zhang Heng (78–139 d. C.)
Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.
Incluso después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el Renacimiento, las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci intercambiaron las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.

MATEMATICAS EN ARABIA

La Matemática Árabe
Arabia fue una tierra de nómadas. Sólo la Meca y Medina eran ciudades florecientes. La Meca, además de centro comercial, era también una ciudad de peregrinación. Los árabes dominaron grandes territorios y tomaron el relevo de la escuela de Alejandría. Mientras que el Occidente atravesaba siglos oscuros, poco propicios a la evolución de las Matemáticas. El año 570, vino al mundo Mahoma, el fundador del Islam. La primera parte de su vida fue la de un ciudadano medio que vive en una ciudad. A los 40 años empezó a predicar. Pero tuvo que huir a Medina, y esta huida marco el comienzo de la era musulmana, en el año 622. En el año 629, Mahoma entró triunfalmente en la Meca, y decidió hacerla su capital. En el año 632, en el momento que se preparaba la invasión del Imperio Bizantino, murió a consecuencia de unas fiebres. Su muerte no afectó a las conquistas árabes. Los árabes, poco interesados al principio por los asuntos intelectuales, despiertan gradualmente a la cultura y se muestran cada vez mas ávidos de conocimientos. Durante el primer período, del año 650 al 750, se atraen sabios a Bagdad y hacia el siglo VII comienza la traducción de los textos griegos. Hasta Bagdad llegaron los mercaderes de oriente, con su nuevo sistema de numeración (el nuestro actual). Los sabios venidos de oriente trajeron consigo copias de trabajos científicos: trabajos de astronomía y geometría. Y por si fuera poco dos nuevas aportaciones: los prisioneros chinos con el arte de fabricar papel, mientras que los astrónomos persas proporcionaron datos sobre astronomía. Y como los matemáticos musulmanes alcanzaron a asimilar rápidamente la nueva aritmética india, llegaron a dominar mejor que nadie la geometría de Euclides y de Arquímedes. Los navegantes dispusieron de mapas mas detallados, y de instrumentos apropiados para medir la altura del sol y de las estrellas. Jamás, en el transcurso de un siglo, había recibido la cultura, tan fuerte impulso como el que obtuvo entre los años 800 y 900, cuando Oriente y Occidente se encontraron en Bagdad. Los signos de numeración cambiaron a menudo de forma, su introducción no fue fácil, y no se aceptaron sin reparos. Los algebristas árabes no tenían signos de cálculo, por lo que las reglas de resolución de ecuaciones las escribían con palabras. Los conquistadores no solo estaban ávidos de asimilar la antigua civilización de los países que ocupaba, sino que encontraban en los textos sagrados una invitación al estudio. No solo se limitaron a traducir, sino que intentaron verificar, corregir, reducir aproximaciones y completar. Una de las figuras de la matemáticas árabe es Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi. Geógrafo, astrónomo y matemático, trabajaba en la biblioteca del califa (siglo IX). A él se debe una aritmética que difundía las cifras hindúes, el cero y las reglas de las cuatro operaciones. De su nombre deriva la palabra algoritmo que actualmente define cualquier procedimiento operativo para resolver un problema arbitrario de un cierto tipo, tal como el procedimiento para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado. A través de su obra más importante Al-Jabr nos ha transmitido vocablo aun mas popular, puesto que de este titulo en árabe se ha derivado la palabra álgebra. Esta obra es un auténtico tratado de álgebra. A la incógnita la llama cosa, aparecen resueltas ecuaciones de segundo grado, aunque en casos concretos. Además hay reglas para operar con expresiones binómicas, incluyendo productos tales como (10+x)(10-x). Aunque los árabes rechazaban las raíces negativas, estaban familiarizados con las reglas que rigen las operaciones con números enteros positivos y negativos. Aparecen además, demostraciones geométricas para la resolución de ecuaciones. Unos que contribuyeron al progreso de las matemáticas fueron los astrónomos. A ellos se debe la introducción y ampliaciones de las funciones circulares.
Texto: Historia de la Matemática. Carl B. Boyer Comic: Historia de la Matemática. J Carlavilla y G. Fernández

En conclusion vemos los grandes aportes de los árabes, nos permiten entender quiénes somos y hacia dónde vamos en matemáticas. Muchos somos los sorprendidos por la gran capacidad de cálculo que tienen los árabes y lo increíble de la diferencia con los griegos, preocupados éstos de la forma que, como aquellos, de la práctica,a ellos debemos una rama de la matemática, importante en tiempos modernos que es el álgebra

MATEMTICAS EN LOS MAYAS

LA CULTURA MAYA: Sabían aritmética y geometría. Medían los terrenos. Tenían una escritura jeroglífica. Medían el tiempo con mucha precisión. Su año tenía 18 meses de 20 días y cinco días finales. Su año religioso era de 260 días y lo combinaban con el de 365. Ambos comenzaban el mismo día cada 52 años mayores o sea 73 menores.La contemplación de los monumentos maya – Quichés, con sus líneas pesadas, produce una impresión de asombro. Maravilla ver los dibujos en relieve que los adornan. Usaron figuras geométricas en brillantes combinaciones, figuras de hombres, de animales, mixtas, de hojas y de diversos motivos. Muchos Museos de América y Europa poseen decoraciones arrancadas de diversos monumentos mayas. EGIPCIOS La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos. Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

MATEMATICAS EN INDIA

INDIA 600 AÑOS A.C.

• Los primeros indicios
  matemáticos se calculan hacia los
  siglos VIII-VII a.C.


• Aplicaciones geométricas para la
  construcción de edificios
  religiosos y


• Sistema de numeración posicional
  y decimal

Los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, las matemáticas hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.

La matemáticas hindú y al igual que ocurría con las otras civilizaciones, no existia ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

En conclusion vemos las Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero, estos avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son utilizados actualmente en el manejo de la matematica.

MATEMATICAS EN ROMA

MATEMATICAS EN EL PERIODO ROMANO (350 a.c. - 500 d.c.)

Los romanos adoptaron la ciencia griega, utilizando la matemática para el uso de la contabilidad

y crearon varios modelos matematicos para la astronomia como tambien se vio una gran evolucion en problemas de calculo.

En este periodo se utilizan los numeros romanos por medio de letras cada simbolo vale siempre lo mismo, no importa la posición. Las cifras empleadas como son :
I
􀂇 V
􀂇 X
􀂇 L
􀂇 C
􀂇 D
􀂇 M






En el periodo romano se destaca Heron de Alejandria con la metrica fue un gran inventor sin embargo, es conocido sobre todo como matemático, tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más acierto que cualquier otro de su época.
Como matemático, escribió La Métrica, obra donde estudia las áreas y volúmenes de diversas superficies y cuerpos. Desarrolló también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones.

Entre los grandes matematicos en el periodo Romano esta en los aportes matemáticos Arquímedes el más grande matemático de la antigüedad, y uno de los más grandes de la historia en donde tenemos en cuenta:

Fuerzas de flotación.
􀂄 Expresiones de los volúmenes de
la esfera y el cono.
􀂄 Ponderación de secciones
infinitamente pequeñas para
calcular áreas









Como se puede observar la matemática en el mundo romano, tiene gran auge especialmente en la medición de superficies. Debido a su política expansiva. También las técnicas de conteo y manejo de capacidades, permitieron que a cultura romana quedara en el legado histórico de la matemática.